Geometry－求投影點與對稱點的方法

一、點反演

簡介：給定一點X及一個反演中心R，並延XR線段做反演點X*，使得反演中心R是以XX*為端點之線段的中點。這個情況可以推廣至n邊形，是一種等距對合仿射變換。

其中，我們得到一個公式：

X' = 2M-X，其中X'、M、X為其各自的位置向量。

例：求點P(4, 8)與點(12, 3)之間的中點

(12, 3)=2(x, y)-(4, 8)

(x, y)=(8, 11/2)

二、斜率

簡介：透過已知的對稱軸斜率，找到目標點至對稱軸上之直線的斜率，之後解聯立求得中點，進而找到對稱點位置。

例：求點P(4, 4)以x + 3y = 6 為對稱軸的對稱點及投影點

已知Ｌ1：y = (-1/3) * ( x - 6 )，斜率為(-1/3)，之後透過點斜式找到Ｌ2：y - 4 =  3 ( x - 4 )

解聯立後得投影點為 ( 3 , 1 )，透過點反演公式得對稱點為( 2 ,  -2 )。

三、分點公式

簡介：給定任一點O，並以O為端點向一直線做兩端點A、B，P為線段AB上之不為A、B之動點，其中AP：ＰＢ＝ｍ：ｎ，則有：

我們可以將ｍ、ｎ的比例固定為１：１，就可以利用分點公式求投影點與對稱點。

例：求點 A ( 4 , 7 ) 在過點 B ( 3 , 9 ) 的對稱點

( 3 , 9 ) = (1/2)*( 4, 7 ) + (1/2) * ( x , y )

( 2 , 11 ) = ( x , y )

四、正射影

簡介：根據投影定理在向量上的應用，我們有（證明略）：

其中B可為直線上任意一點。