Geometry－平面上的線性映射

簡介：線性映射是在兩個向量空間之間，一種保持向量加法和純量乘法的特殊映射。本文將簡單地提及旋轉、鏡射、伸縮、推移等四種變換。而當我們在不仰賴計算機的情況，做影像處理時，便會需要用到矩陣的性質，而這些過程皆是線性的。

跟原點無關的變換是仿射變換而非線性變換，當且僅當下文提到的映射方法皆與原點為基準。

此處大略介紹一些向量空間滿足的代數性質：

加法滿足結合律、交換律、分配律、有加法單位元素。

乘法滿足交換律、分配律、有乘法單位元素。


旋轉

給定一點 P ( x , y ) ，點P以O點為中心逆時針旋轉θ度，之後的位置向量 P ' ( x ' , y ' )滿足下列矩陣性質：

其中，

稱為旋轉矩陣。

例：將點( 2, -4 )以原點為中心逆時針旋轉60度

鏡射

給定一點 P ( x , y ) ，以過原點且與x軸的正向角為θ（可表為 y = ( tanθ ) x）的直線Ｌ為鏡射軸，產生的點 P ' ( x ' , y ' ) 滿足下列矩陣性質：

其中，

稱為鏡射矩陣。

伸縮

給定一點 P ( x , y )，其在沿 x 軸伸縮 h 倍（h > 0），沿 y 軸伸縮 k 倍（k > 0）後，產生的點 P ' ( x ' , y ' ) 滿足下列矩陣性質：

其中，

稱為伸縮矩陣。

另外，值得注意的是，若是圖形不在第一象限內，我們須在運算後依所在象限補上正確的正負號。

推移

又被稱為剪切影射、錯切，是比較特殊的一種線性映射方式。

給定一點 P ( x , y )，沿 x 軸方向推移 y 坐標的 k 倍，得到對應點 P ′ ( x ′, y ′ )滿足下列矩陣性質：

類似地，沿 y 軸方向推移 x 坐標的 k 倍也有：

其中，下列兩者被稱為推移矩陣：