京都大學－證明tan1°為無理數

簡介：這是於2006年日本京都大學的面試考題，有「史上最短面試問題」的封號，如今也是不少高中生準備數學系面試或筆試時，必定會準備到的問題。

是無理數嗎？大部分的人都會直覺性地回答「是」，但卻不知如何證明這道題。

訣竅

利用兩有理數相加仍為有理數的性質及 的兩倍角公式進行類推

解法

Proof（反證法）：

假定是有理數，並用有理數的形式表示之：



且根據兩倍角公式：



可知是有理數，若且唯若也是有理數，根據前面的等式，進而有：

，重複上面的循環後，仍可得同一等式，進而可歸納出：

等亦為有理數。

並且我們運用兩倍角公式，並利用我們熟知的三角函數表可知：



假設，且a、b兩數互質（兩數之GCD為1），我們將等號左右兩邊平方，則有：

，並以代入，得到一等式：

，進而可知a為3的倍數，兩數不互質，矛盾，則我們可證得為無理數，

回歸到，兩有理數相減為無理數，矛盾。

因此我們可知為無理數，證畢。