數學筆記: 橫濱大學－解對數聯立方程式

給定一聯立方程組，求x、y分別的值分別為何

$\begin{Bmatrix} \log _2_xy + \log _x2y =1\\ \log _2x+\log_2 y =1 \end{matrix}$

訣竅

活用對數律進行求解。

解法

將原式改寫為： $\loght.$ ， $\log_2x=X,\log_2y=Y$ ，則有：

$\left\{\begin{matrix} \frac{Y}{X+1}+\frac{Y+1}{X}=1\\ X+Y=1 \end{matrix}\right.$ ，我們將上式進行展開後，並將下式代回上式，可得一元二次方程式：
$3x^{2}-x-2=0\Rightarrow (3x+2)(x-1)=0\Rightarrow \begin{Bmatrix} X=\frac{-2}{3},1\\ Y=\frac{5}{3},0 \end{Bmatrix}$
最後再個別求解：
$\left\{\begin{matrix} \log_2x=1\\ \log_2y=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=1 \end{matrix}\right.$ 、 $\left\{\begin{matrix} \log_2x=\frac{-2}{3}\\ \log_2y=\frac{5}{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{3\sqrt4}\\ y=2\sqrt[3]{4} \end{matrix}\right.$

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