Geometry－費馬點、拿破崙點、奈格爾點、熱爾崗點

X7	Gergonne point	Ge	bc/(b + c − a) : ca/(c + a − b) : ab/(a + b − c)

X8

Nagel point

Na

(b + c − a)/a : (c + a − b)/b: (a + b − c)/c

X13

Fermat point

X

csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3) *

X17 X18

Napoleon points

N N′

sec(A − π/3) : sec(B − π/3) : sec(C − π/3) sec(A + π/3) : sec(B + π/3) : sec(C + π/3)

費馬點

簡介：三角形ABC中，有一點P，其與三頂點之間的連線和PA+PB+PC會相較存在於該三角形其他的PA+PB+PC為最小點。又被稱為費馬—托里切利—斯坦納點，在早先由費馬寄信請托里切利解決一個問題「在平面上找到一個點，使此點到已知三角形三個頂點的距離和為最小」；而後斯坦納重新找到這個問題，並進行推廣。

作法：在三角形的三邊上，各做一與其長度相同的正三角形，三條由各正三角形的端點對應原三角形頂點的連線之交點，即為費瑪點。

幾何性質：三條交線間的角度皆為120度。若且唯若三角形有一內角大於120度時，費馬點不在三角形內部。

物理性質：將平面上所給的三個給定點鑽出洞來，再設有三條繩子系在一起，每條繩子各穿過一個洞口，而繩子的末端都綁有一個固定重量m的重物。由於繩長是固定的，而繩子豎直下垂的部分越長，重物的位置也就越低，位能越低。在平衡態的時候，系統的位能達到最小值，也就是繩子豎直下垂的部分的長度達到最大值，因此水平的部分的長度達到最小值。而繩子的水平部分的長度就是PA + PB + PC，因此這時PA + PB + PC最小，也就是達到費馬點。

在系統處於平衡態時，由力學原理可知繩子兩兩之間張成的角度之間滿足合力公式：

也間接說明這三個角相等，都是120度。

拿破崙點

簡介：三角形ABC中，以三邊長各自以其長度做出的正三角形的幾何中心到原三角形的對應頂點的連線，稱為拿破崙點。

作法：在三角形的三邊上各自做正三角形，再透過重心兩端長度為2:1的特性找到重心，而該重心即是外（內）拿破崙三角形的中心，以此類推後再各自將之與原三角形的對應頂點連起。

拿破侖定理：三角形三邊長各自以其長度向外做出的正三角形的幾何中心之間的連線，會構成一個正三角形。

向內做正三角形的情況，此定理也成立。

奈格爾點

簡介：三角形的三旁心與三角形三邊上的切點與對應頂點的連線，稱為奈格爾點

作法：從點A出發沿著三角形ABC的邊走到半周長位置，即為旁心在邊上的切點，以此類推，我們一樣可以藉由此法找出其他兩個切點。因為這個特質，奈格爾點有時也被稱為平分周長點（或譯界心）。

等截共軛的情況。

幾何性質：奈格爾點是熱爾崗點的等截共軛點。且奈格爾點、內心和重心三點共線。

熱爾崗點

簡介：三角形內切圓在三邊上的切點與對應頂點連成的直線交於一點，該點稱為熱爾崗點。

作圖：先畫出三條角平分線以做出三角形的內切圓，進而找到切點，將之連線，可得熱爾崗點。

進而，我們將旁切圓與內切圓統合，將旁切圓及內切圓在射線AB、AC、BC上的切點記為A1、A2、A3、A4，B1、B2、B3、B4，C1、C2、C3、C4與各自對應的頂點連線，可得四個熱爾崗點（AA1、BB1、CC1得G1...etc）。

同樣地，也能得到四個奈格爾點。

幾何性質：三角形的熱爾崗点及奈格爾點的等角共軛點分别是外接圓與內接圓及外接圓與旁切圓的相似中心。 

等角共軛的情況。