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代數基本定理：任何一個一元複係數多項式都至少有一個複數根。
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一次因式檢驗法（牛頓法）：用於找尋一整係數多項式可能的一次因式的方法。
給定一整係數多項式，其最大項係數a與最小項係數b的因數，可個別寫成ax+b的形式，其中a、b是整數且互質，則ax+b有可能是該多項式的一次因式。
註：此定理之逆定理不成立。
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虛根成對定理：在一複係數多項式中，若其有虛根則其必成對。
註：在一有理係數多項式中，若有平方根之無理根存在，則其也必成對，但二次以上根號的情況則不成立。這個定理我們可以透過一元二次方程式的求根公式來觀察。
一元二次方程式的求根公式：
例：
解法
(1)將(1+i)代入f(x)，並分實部與虛部討論，可得a+c+d=3；進而，我們將(1-i)代入f(x)，可由前面得到的結論發現兩者實部皆為3，而虛部方面則因條件不足而無法判斷，進而發現此選項為非。(2)觀察一元三次方程式的求根公式，我們可以發現帶有立方根之無理根並不會成對出現，故此選項為非。
(3)根據一次因式檢驗法的條件，a、d並未滿足互質的性質，故此選項不一定成立。
(4)觀察a、b、c、d皆為正整數時的多項式圖形及三次函數的奇偶性，在d>0時，函數圖形至少在x軸左端有一交點，故此選項對。
(5)假設三根為α、β、γ，則x=α、β、γ，又f(x^3)=0→x^3=α、β、γ，x=α^1/3、β^1/3、γ^1/3，可知亦有三相異正實數根，故此選項對。
故選(4)、(5)。
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可由下列圖片來觀察（黑線說明兩者乘積大於零，棕線則說明兩者乘積小於零的情況）：
推廣到三次也一樣適用，對於其三根α、β、γ，我們有：
例：設a為實數，令α、β為二次方程式
的兩個根。試問當a為何值時，abs(α−β) 有最小值?【指考乙 93】解法
可由韋達定理知：α + β = −a ，αβ = a − 2，進而我們可以利用下列等式來處理問題：
因此，透過配方法，我們可以得到：
當a=2時，abs(α−β)有最小值 sqrt(4)=2。
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笛卡兒符號法則：用於確定多項式的正根或負根的個數的方法。
如果把一元實係數多項式按降冪方式排列，則多項式的正根的個數等於相鄰的非零係數的符號的變化次數，或者比它依次小2的整倍數；而負根的個數則是把所有奇數次項的係數變號以後，所得到的多項式的符號的變化次數，或者比它小2的整倍數。
例如：
我們可以觀察到，第二項及第三項間有一個符號變化，因此該多項式正好有一正根。
進而，我們將奇數項變號，會得到：
我們可以觀察到，總共有兩次的符號變化，因此變號後的多項式可能有2個正根或0個正根。
而原來的多項式則有2個負根或0個負根。例行地，我們將多項式分解，可以得到：
確實，原多項式有1、-1（重根）等三根。
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