Algebra－多項式的部分分式技巧

前言：就我個人而言，部分分式的技巧在做裂項求數列總和，有理函式的積分時都常常用到，但是方法不勝枚舉，故作此整理，以便查閱溫習。

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簡介：部分分式（Partial fraction decomposition），是將有理函數分解成許多次數較低有理函數和的形式，來降低分子或分母多項式的次數。分解後的分式需滿足以下條件：

• 分式的分母需為不可約多項式（irreducible polynomial）或其乘冪。
• 分式的分子多項式次數需比其分母多項式次數要低。

註：以上內容摘自維基百科，詳閱此處。




我目前總共整理了四種較為常用的Method，而其各有適合應對的場合，將來若有學到新的方法會陸續在此補上（實際上是更高階的方法我目前還沒辦法理解，有機會會嘗試去學看看）。

• 比較係數法
• 一手遮天法
• 留數法
• 借複生子法

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比較係數法

我個人認為此法計算過程時間過於冗長，但是這是最萬用的Method，若是透過一手遮天或留數法都沒有辦法順利求出分式時，此法才會用使用的機會。總體來說，是最基本的方法，但在我們學會其他方法後，能不用就不用，避免浪費時間。

我們先給定一等式：


兩邊同乘將同次方係數整理化簡，之後再比較各項係數求解。

Example: 

先將原式分為兩部分，先處理前半部分，我們有：


兩邊同乘以左邊等式的分母，進而有：

展開等號右邊的式子得：

等號兩邊進行比較，進而有：

原式前半部分則可寫為：

積分後得：

接下來處理原式後半部分，換元後有：

故原式為：

 

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一手遮天法

此法是最常用的，求分式的速度極快，應掌握嫻熟，但其仍有不適合使用的時機，例如分母有高次項的因式出現時。

我們先給定一等式：


假設我們要先求Ａ的值，就將等號兩邊同乘以其對應項的分母：

從而，當x=a時，等號右邊的第二項及第三項為0，進而：



B、C亦同理。


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留數法

此法可視為處理一手遮天法的弊病的方法。

我們先給定一等式：

之後同乘左邊等式分母有最高幂次的因式，得(a)：


其中C等於（通常第一次的留數法使用改用一手遮天會較快）：



而後微分(a)一次，得：



其中B等於：


重覆上二步驟，同理可得A：

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借複生子法

此處理方法跟一手遮天大同小異，但特別的是「此法在最後會進行實部與虛部的比較」，而使用一手遮天法時若要求x為複數時，到最後比較的過程往往直接將複數代回x就可以得到等號兩邊都為實數的形式，而借複生子法則往往無法通過代回x的步驟，直接進行求解。

我們先給定一等式：

Example:

求A、B，將兩邊同乘其對應項的分母，從而有：

我們令其剛剛乘掉的分母等於零，再透過公式解可得，之後取正的帶入上式，
再進行約分整理後得：



進一步化簡後（上式用了平方差公式來化簡），可得Ａ＝1；Ｂ＝3

Ｃ、Ｄ的求法亦同理。

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