Geometry－角平分線定理

簡介：三角形的內（外）角平分線分對邊所得兩條線段與這個角的兩個邊對應成比例。給定一符合上述說明之三角形，有：

上述定理的發現者已不可考，但它確實是平面幾何學最重要最基本的定理之一，這一定理對證明阿波羅尼奧斯定理是必須用到的，這說明此定理的發現至少可上推至公元前２００年以前。

與角平分線等價的定理有斯霍滕定理：

證明：

同時，角平分線定理與斯霍滕定理的逆命題也成立。

定理的延伸與推廣：

一：設D為三角形ABC底邊BC上任意一點(C點除外)，則：

證明：

如下圖，應用正弦函數求三角形面積，有：

顯然地，角平分線定理是其特例。

二：若直線DP交三角形ABC三邊（或其延長線）分別於D、E、P，且角BDP=角CEP，則有：

證明：如左圖，過C作平行DP的直線CF交PA（或其延長線）於F，

因為角BDP=角CEP，故AD=AE，則EC=DF，因此有：

特別地，當DP過點A時為內角平分線定理，外角情形（當角ADP=角CEP時）可對應寫出。

三：如下圖，過O點的三條直線被另兩條直線所截，交點分別為A、B、C及A'、B'、C'，則：

證明：依定理一，有：

因為：

，

故欲證式成立。