Abstract Algebra－二元運算、群、體、環

簡介：抽象代數又被稱為近代代數，顧名思義就是其相較於歐氏幾何這類具有淵遠流長的歷史的數學分支，是相對還未被開發完全的，而當年抽象代數的興起是因為，法國數學家伽羅瓦為了解決一個問題「一元五次以上的方程式是否存在公式解？」其中就用到了抽象代數的觀念來解決，是謂「伽羅瓦理論」，關於其的資訊在此有更詳細的敘述。而抽象代數這門學科的學習並不需要大量的先備知識，較著重於思考以及理解，但礙於自身認知仍不以完納這些知識，故而不多做說明。


二元運算（Binary operation）的概念：

二元運算由一個二元運算符，如「加、減、乘、除」，及能夠和其作運算的兩個變數組成。而在代數結構中，我們高度依賴二元運算的一些性質，進而統合出元素之間的關係。

定義：給定一個集合，關於 的一個二元關系是一個從到  的映射。它的映射形式是 ，並且要求滿足下列條件：

• 無缺陷的（well-defined）：對於任意的 ，恰好有一個 使得

              註：意思就是「一個原象中的元素不能映射到多個象」，即具唯一性

• 具封閉性（closure）：對於任意的 ，

              註：意思就是「所有的運算都在原本的集合內完成」

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群（Group）的概念：

假設給定一個集合及一個二元運算符，並且滿足相關的性質，就可以得到這個代數結構，為了方便我們通常都寫成。

具有下列四項特質的集合稱為「群」，而下列四項項目即是群公理：

• 封閉性（closure）： 
• 結合性（associativity）：
• 單位元素（element）：
• 反元素（inverse）：

此處順便介紹一些群的種類：

• 群（Group）：四項群公理全部具備
• 半群（Semi Group）：只具備前兩項群公理的性質
• 么半群（Monoid Group）：只具備前三項群公理的性質
• 阿貝爾群（Abelian Group）：除了已給定的四項群公理外，再加入交換律的性質

               交換律（commutative）：  

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體（Fields）的概念：

進一步地，我們可以將群的概念推廣至體的概念：假設給定個集合及兩個二元運算符（加法以及除法），並且滿足相關的性質，就可以得到這個代數結構，為了方便我們通常都寫成。

• 乘法與加法封閉性與唯一性： 使得
• 乘法與加法單位元素：使得
• 乘法與加法反元素：使得
• 乘法與加法交換律：
• 乘法與加法結合律：
• 乘法對加法分配律：

註：0是加法單位元素，且0沒有乘法反元素存在

註：整數體是不成立的，其不滿足乘法反元素的性質，是一種缺陷體

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環（Ring）的概念：

環是由已給定的一個集合S及定義於該集合之上的兩種運算（其中的不一定代表乘法）所組成的代數結構：

加法的性質（形成一個阿貝爾群）

• 加法具封閉性及唯一性
• 加法具結合律
• 加法具分配律
• 加法具交換律
• 加法具單位元素
• 加法具反元素

乘法的性質（形成一個半群）

• 乘法具封閉性及唯一性
• 乘法具結合律
• 乘法具分配律

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