Analysis－多維函數極值的概念及判斷法

多維函數的極值：定義在有界閉集合Ｄ的連續函數f必定有極大值、極小值。為了找到這些值，需透過比較下列各項的值：

• 使▽f為0的點
• f不可微分的點
• D的邊界上的點

註：一維函數的極值發生在端點或不可微分點或微分為零處。

多變數函數之極值判斷法：「Hesse Matrix」
設Ｄ為歐式空間Ｒ的開集合，且函數f:Ｄ->Ｒ在二階可微分。今給定一n x n矩陣，稱為「Hesse Matrix」，其行列式稱為「Hessian」。

雙變數的情況：設fxx=A，fxy=B，fyy=C，判別式為H=AC-B^2（見圖一）；且已知連續函數f(x,y)在點(a,b)為臨界點。

• 若A>0，H>0，則(a,b)為極小點
• 若A<0，H>0，則(a,b)為極大點
• 若H<0，則(a,b)為鞍點
• 若H=0，則判斷失敗，須利用泰勒級數對該函數在點(a,b)的展開做進一步的判斷

多變數的情況：已知連續函數f(x,y)在點p為臨界點。

• 若H為正定陣，則p為極小點
• 若H為負定陣，則p為極大點
• 若H=0，則須從更高階的導數來判斷
• 若以上皆不符，則p並非臨界點

註一：因函數是連續的，fxy=fyx（即偏微順序對結果並無影響）
註二：海森矩陣口訣：左邊的寫左邊，上面的寫右邊（四變數的海森矩陣之作圖見圖二）